Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M. （1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD=2，CD=3，试求四边形AEMF的面积．

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC△AEB是由△ADB折叠所得， ∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得 ∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD ∴AE=AF 又∵∠1+∠2=45°，∴∠3+∠4=45°，∴∠EAF=90°， ∴四边形AEMF是正方形． （2）根据题意知：BE=BD，CF=CD 设正方形AEMF的边长是x，∴BM=x﹣2；   CM=x﹣3 在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC 2 =CM 2 +BM 2 ， 即（2+3） 2 =（x﹣3） 2 +（x﹣2） 2 ， 解得x=6或x=﹣1（舍去）， ∴EM=6， ∴S 正方形AEMF =EM 2 =6 2 =36． 故答案为：正方形，36．