Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx-1（a，b为实数），x∈R，（1）若不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求f

已知函数f（x）=ax 2 +bx-1（a，b为实数），x∈R，（1）若不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求f（x）在区间[-2，3）的值域；（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-3或x＞1}， 即不等式ax 2 +bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}， ∴-3和1是方程ax 2 +bx-3=0的两根，∴ - b a =-3+1 - 3 a =-3×1 解得 a=1 b=2 ，∴f（x）=x 2 +2x-1=（x+1） 2 -2 ∴x∈[-2，3）时，f（x） min =f（-1）=-2，f（x）＜f（3）=14 ∴求f（x）在区间[-2，3）的值域为：[-2，14） （2）由（1）知，g（x）=x 2 +2x-1-kx=x 2 +（2-k）x-1 ∴g（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x= k-2 2 若函数g（x）[-1，1]上是单调函数，则 k-2 2 ≤-1或 k-2 2 ≥1 ，解得k≤0，或k≥4 故实数k的取值范围为k≤0，或k≥4