Question

（2010?密云县一模）如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|

（2010?密云县一模）如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（　　）A．y2=32xB．y2=9xC．y2=92xD．y2=3x

Answer 1

解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，
从而得a=1，
∵BD∥FG，
∴

1

p

=

2

3

求得p=

3

2

，
因此抛物线方程为y²=3x．
故选D．

Answer 2

设A,B向准线做垂线, 垂足分别是D,E.
根据抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离, 有等式: BF=BE, AD=AF=3
因为BC=2BF=2BE,
在直角三角形BCE中就说明角ACE=30度. 在三角形ACD中就说明AC=2AD=6, FC=AC-AF=3. 也就是说F是AC的中点,
所以F到准线的距离就是三角形ACD中位线的长度, AD的一半. F到准线的距离就是p, 称为焦准距. 所以p=AD/2=3/2.
抛物线方程为y^2=3x.

Answer 3

设 B 在准线上射影为 B1，则 |BB1| = |BF|，
由 |BC| = 2 |BF| = 2|BB1| 知直线倾斜角为 60 度，
由 |AF| = 3 知 A 横坐标为 p/2+3/2 = (p+3)/2，纵坐标 3√3/2，
代入抛物线方程得 27/4 = 2p*(p+3)/2，
解得 p = 3/2，因此抛物线方程为 y^2 = 3x 。
选 D

Answer 4

D．y2=3x、
作AM垂直准线于M，作BN垂直准线于N,
在Rt△CBN中，
∵2BF=2BN=BC
∴∠BCN=30º
在Rt△CAM中，AM=AF=3
∴AC=6
∴BF=3
∵P/BF=3/6
∴P=3/2
∴y²=2px=3x

Answer 5

F(p/2,0),
设AB:x=my+p/2,(1)
代入y^2=2px得
y^2-2mpy-p^2=0,
解得yB=mp-p√(m^2+1),yA=mp+p√(m^2+1),
把x=-p/2代入(1),得yC=-p/m,
|BC|=2|BF|,
所以yB-yC=2(yF-yB),即mp-p√(m^2+1)+p/m=-2[mp-p√(m^2+1)],p>0,
所以3m+1/m=3√(m^2+1),
平方得9m^2+6+1/m^2=9(m^2+1),
1/m^2=3,m^2=1/3,m>0,所以m=1/√3，
|AF|=3,所以|1/√3+2/√3|p*2/√3=3，p=3/2.
选D.