Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；

设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（　　）A．函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）=ex（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数f(x)＝4xx2+1（x≥0）存在“和谐区间”D．函数f(x)＝loga(ax?18)（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”

Answer 1

函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②

f(a)＝2a f(b)＝2b

或

f(a)＝2b f(b)＝2a

．
A．若f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由

f(a)＝2a f(b)＝2b

，
得

a2＝2a b2＝2b

，∴

a＝0 b＝2

，
∴f（x）=x²（x≥0）存在“倍值区间”[0，2]，∴A正确．
B若f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由

f(a)＝2a f(b)＝2b

，得

ea＝2a eb＝2b

，
即a，b是方程e^x=2x的两个不等的实根，
构建函数g（x）=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”，∴B正确．
C．若函数f(x)＝

4x

x2+1

（x≥0），
f′（x）=

4(x2+1)?4x?2x

(x2+1)2

＝

4(x+1)(1?x)

(x2+1)2

，
若存在“倍值区间”[a，b]?[0，1]，
则由

f(a)＝2a f(b)＝2b

，得

4a a2+1 ＝2a 4b b2+1 ＝2b

，
∴a=0，b=1，
即存在“倍值区间”[0，1]，∴C正确．
D．若函数f(x)＝loga(ax?

1

8

)（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，
若存在“倍值区间”[m，n]，
则由