Question

已知椭圆C两焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0），一个顶点为A（0，-1）．（1）求椭圆C的标准方程；（

已知椭圆C两焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0），一个顶点为A（0，-1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），一个顶点为A（0，-1）．
∴可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∴c=

2

，b=1，
∴a²=b²+c²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2＝1．
（Ⅱ）存在这样的直线l．
设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程化为（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∵△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）得3k²-m²+1＞0…①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点为P（x₀，y₀），
则x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2?3

1+3k2

．
于是x₀=-

3km

1+3k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+3k2

．
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，则直线l过原点，P（0，0），不合题意．
若m≠0，由k≠0得，k_AP?k=-1得到

y0+1

x0

?k＝?1，整理得2m=3k²+1…②
由①②知，k²＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．