Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB为直径作⊙P与y轴

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB为直径作⊙P与y轴交于点C．（1）求C点坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线的函数关系式；（3）判断（2）中的抛物线顶点D与⊙P的位置关系．

Answer 1

解：（1）连接AC、BC；
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，OA=8，OB=2，且OC⊥AB；
则OC²=OA?OB=16，得OC=4；
故C点坐标为：（0，-4），

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+8）（x-2），
代入C点坐标得：
a（0+8）（0-2）=-4，a=

1

4

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

（x+8）（x-2）
=

1

4

x²+

3

2

x-4；

（3）由（1）知：y=

1

4

x²+

3

2

x-4=

1

4

（x+3）²-

25

4

；
则顶点M的坐标为：（-3，-

25

4

），又C（0，-4），P（-3，0），
∴MP=

25

4

，PC=5，MC=

15

4

，
∴MP²=MC²+PC²，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直线MC与⊙P相切．