如图，已知二次函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C．（1）求tan∠BAC（2）在y轴上是否
如图，已知二次函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C．（1）求tan∠BAC（2）在y轴上是否存在一点P，使得△DOP与△ABC相似？如果存在，...
如图，已知二次函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C．（1）求tan∠BAC（2）在y轴上是否存在一点P，使得△DOP与△ABC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．（3）Q是抛物线上一动点，使得以A、B、C、Q为端点的四边形是一个梯形，请直接写出满足条件的Q点的坐标．（不要求写出解题过程）
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（1）把y=0代入y=-x2+2x+3，得-x2+2x+3=0．
解得 x1=-1，x2=3，
即A（3，0），D（-1，0），
把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3，
∴B（0，3），
把x=1代入y=-x2+2x+3，
y=4，即C（1，4）．
过点C作CE⊥y轴，垂足为E．
∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°且BC=
，AB=3
．
∴tan∠BAC=
＝
＝
；
（2）①P于点B重合时，
∵OD=1，OP=OB=3，
∴
＝
=
，
∵∠POD=∠ABC，
即△DOP∽△CBA；
此时点P（0，3）；
根据对称性可得：P（0，-3），
②当P在y轴负半轴时，设P（0，a），
由①知∠DBP=∠BAC．
∴当∠BDP=Rt∠时，△BDO∽△DOP，
则△ODP∽△BAC，
∴
＝
，
∴OP=
，
∴P（0，?
）；
根据对称性可得：（0，
）；
∴所以满足题意的P点为（0，3），（0，
解得 x1=-1，x2=3，
即A（3，0），D（-1，0），
把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3，
∴B（0，3），
把x=1代入y=-x2+2x+3，
y=4，即C（1，4）．
过点C作CE⊥y轴，垂足为E．
∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°且BC=
| 2 |
| 2 |
∴tan∠BAC=
| BC |
| AB |
| ||
3
|
| 1 |
| 3 |
（2）①P于点B重合时，∵OD=1，OP=OB=3，
∴
| OD |
| BC |
| OP |
| AB |
| ||
| 2 |
∵∠POD=∠ABC，
即△DOP∽△CBA；
此时点P（0，3）；
根据对称性可得：P（0，-3），
②当P在y轴负半轴时，设P（0，a），
由①知∠DBP=∠BAC．
∴当∠BDP=Rt∠时，△BDO∽△DOP，
则△ODP∽△BAC，
∴
| DO |
| OP |
| BO |
| DO |
∴OP=
| 1 |
| 3 |
∴P（0，?
| 1 |
| 3 |
根据对称性可得：（0，
| 1 |
| 3 |
∴所以满足题意的P点为（0，3），（0，
| 1 |
| 3 |
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