如图,已知二次函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点,顶点为C.(1)求tan∠BAC(2)在y轴上是否
如图,已知二次函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点,顶点为C.(1)求tan∠BAC(2)在y轴上是否存在一点P,使得△DOP与△ABC相似?如果存在,...
如图,已知二次函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点,顶点为C.(1)求tan∠BAC(2)在y轴上是否存在一点P,使得△DOP与△ABC相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由.(3)Q是抛物线上一动点,使得以A、B、C、Q为端点的四边形是一个梯形,请直接写出满足条件的Q点的坐标.(不要求写出解题过程)
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(1)把y=0代入y=-x2+2x+3,得-x2+2x+3=0.
解得 x1=-1,x2=3,
即A(3,0),D(-1,0),
把x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3,
∴B(0,3),
把x=1代入y=-x2+2x+3,
y=4,即C(1,4).
过点C作CE⊥y轴,垂足为E.
∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形,
∴∠ABC=90°且BC=
,AB=3
.
∴tan∠BAC=
=
=
;
(2)①P于点B重合时,
∵OD=1,OP=OB=3,
∴
=
=
,
∵∠POD=∠ABC,
即△DOP∽△CBA;
此时点P(0,3);
根据对称性可得:P(0,-3),
②当P在y轴负半轴时,设P(0,a),
由①知∠DBP=∠BAC.
∴当∠BDP=Rt∠时,△BDO∽△DOP,
则△ODP∽△BAC,
∴
=
,
∴OP=
,
∴P(0,?
);
根据对称性可得:(0,
);
∴所以满足题意的P点为(0,3),(0,
解得 x1=-1,x2=3,
即A(3,0),D(-1,0),
把x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3,
∴B(0,3),
把x=1代入y=-x2+2x+3,
y=4,即C(1,4).
过点C作CE⊥y轴,垂足为E.
∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形,
∴∠ABC=90°且BC=
2 |
2 |
∴tan∠BAC=
BC |
AB |
| ||
3
|
1 |
3 |
(2)①P于点B重合时,
∵OD=1,OP=OB=3,
∴
OD |
BC |
OP |
AB |
| ||
2 |
∵∠POD=∠ABC,
即△DOP∽△CBA;
此时点P(0,3);
根据对称性可得:P(0,-3),
②当P在y轴负半轴时,设P(0,a),
由①知∠DBP=∠BAC.
∴当∠BDP=Rt∠时,△BDO∽△DOP,
则△ODP∽△BAC,
∴
DO |
OP |
BO |
DO |
∴OP=
1 |
3 |
∴P(0,?
1 |
3 |
根据对称性可得:(0,
1 |
3 |
∴所以满足题意的P点为(0,3),(0,
1 |
3 |