Question

设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（

设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

Answer 1

∵抛物线C方程为y²=2px（p＞0），https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/023b5bb5c9ea15ceb7ef01bfb5003af33a87b207?x-bce-process=image/quality,q_85
∴焦点F坐标为（

p

2

，0），可得|OF|=

p

2

，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
∴Rt△AOF中，|AF|=

( p 2 )2+4

=

p2+16

2

，
则sin∠OAF=

OF

AF

=

p 2

p2+16 2

=

p

p2+16

，
根据抛物线的定义，可得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，
∴Rt△AMF中，sin∠AMF=

AF

MF

=

p

p2+16

，
∵|MF|=5，|AF|=

p2+16

2

，
∴

p2+16 2

5

=

p

p2+16

，整理得p²+16=10p，
解得：p=2或p=8，
∴抛物线C的方程为y²=4x或y²=16x．
故选：C．