Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．（Ⅰ）当a=1时，判断f（x）的单调性，并求其单调区间；（Ⅱ）若x∈（0，+

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．（Ⅰ）当a=1时，判断f（x）的单调性，并求其单调区间；（Ⅱ）若x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a=1时，f（x）=x³-3x²+3x+1，
则f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴f（x）在R上为增函数，增区间为（-∞，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）≥0恒成立，即3x²-6ax+3≥0恒成立，得a≤

x2+1

2x

，
令g(x)＝

x2+1

2x

，只需a≤[g（x）]_min，
而g(x)＝

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

?2

x? 1 x

＝1，
即[g（x）]_min=1，
∴a≤1．