Question

（2012?石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，如

（2012?石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，如果DE=34CE，AC=85，D为EF的中点．（1）求证：∠AFC=∠ACF；（2）求AB的长．

Answer 1

解：（1）连接BC，AD．
∵AF为⊙O的切线，
∴AF⊥AB，即∠DAF+∠DAB=90°，
∵D为EF的中点，
∴DF=DE=AD，
∴∠DAF=∠AFC，
∵∠DAF=∠ACF，
∴∠FCA=∠AFC；

（2）过C作CG⊥AB于G，
∵AF⊥AB，
∴AF∥CG，
∴∠F=∠ECG，又∠AEF=∠CEG，
∴△AEF∽△GEC，
∴AF：CG=AE：EG=EF：EC，
∵DE=

3

4

CE，DF=DE，
∴CE：FE=2：3，
∴CG：AF=2：3，…（3分）
∵∠FCA=∠AFC，
∴AF=AC=8

5

，
Rt△ACG中，CG：AC=2：3，
∴cos∠CAB=

5

3

，…（4分）
在Rt△ACB中，AC=8

5

，
∴AB=

AC

cos∠CAB

=24．…（5分）