Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，F是CD边的中点

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，F是CD边的中点，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则下列结论正确的有（　　）①BF=AC；②BF=2CE；③CE=BG；④DG=GH．A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△CDA中，

∠DBF＝∠ACD BD＝CD ∠BDF＝∠CDA＝90°

，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，故①正确；

∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE与△CBE中，

∠ABE＝∠CBE BE＝BE ∠AEB＝∠CEB＝90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE=

1

2

AC，
∴BF=2CE，故②正确；

过F作FM垂直BC交BC于M，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∵F是CD的中点，FM⊥BC，
∴FM是△CDH的中位线，
∴FM垂直平分HC，
则BG：BF=1：

3

2

=

2

3

，
CE：BF=

1

2

所以BG：CE=4：3，故③错误；

∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，
∴FD=FM，
∴DG=FM，
从图可知，FM＞GH，
∴DG＞GH，故④错误．
综上所述，①②共2个正确．
故选B．