Question

设总体X的密度函数为f（x）=1θe?(x?μ)θ，x≥μ0，其他，其中θ＞0，θ，μ为未知参数，X1，X2，…，Xn

设总体X的密度函数为f（x）=1θe?(x?μ)θ，x≥μ0，其他，其中θ＞0，θ，μ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的样本，试求θ，μ的最大似然估计量和矩阵估计量．

Answer 1

（1）最大似然估计量：
∵似然函数为L（x₁，x₂，…，x_n；θ，μ）=

n π

i＝1

1

θ

e

?(xi?μ)

θ

=θ?ne?θ?1

n

i＝1

(xi?μ)
∴lnL＝?nlnθ?θ?1

n

i＝1

(xi?μ)
∴

?lnL

?θ

＝?

n

θ

+

1

θ2

n

i＝1

(xi?μ)…①
 

?lnL

?μ

＝

n

θ

…②
由②可知，μ的最大似然估计不能由似然方程解出．
但当x_i＞μ（i=1，2，…，n）时，lnL是关于μ单调递增的，且
当μ=min（x₁，x₂，…，x_n）时，lnL取到最大值
故μ的最大似然估计是min（x₁，x₂，…，x_n）
由①，令

?lnL

?θ

＝0，则θ＝

1

n

n

i＝1

(xi?μ)=

.

x

?μ
∴θ的最大似然估计是

.

x

?min(x1，x2，…，xn)
（2）矩阵估计量
由题意，可知EX＝

∫

+∞ ?∞

xf(x)dx=

∫

+∞ μ

x

1

θ

e

?(x?μ)

θ

dx

令t＝ x?μ θ

.

∫

+∞ 0

(μ+θt)

1

θ

e?tθdt=

∫

+∞ 0

(μ+θt)e?tdt
=

∫

+∞ 0

μe?tdt+

∫

+∞ 0

θte?tdt=θ+μ
EX2＝

∫

+∞ ?∞

x2f(x)dx=

∫

+∞ μ

x2

1

θ

e

?(x?μ)

θ

dx=2θ²+2θμ+μ²
∴由矩估计可知

θ+μ＝ . x 2θ2+2θμ+μ2＝ 1 n n i＝1 xi2

解得：θ＝

1 n n i＝1 (xi2? . x 2)

μ＝

1 n n i＝1 (xi2? . x 2)

即θ，μ的矩估计量均为

1 n n i＝1 (xi2? . x 2)