Question

如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ

如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：连接OC，
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（Ⅱ）解：设点E到平面ACD的距离为h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE，
∴

1

3

h?S△ACD＝

1

3

?AO?S△CDE
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

2

×

4? 1 2

=

7

2

，
∵AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

21

7

，
∴点E到平面ACD的距离为

21

7

．