Question

(1)已知函数f（x）=（x²+ax）e×在（0,1）上单调递减,求a的取值范围

(2)令g（x）=[（a+3）x+a²+2a-1]e× ,h(x)=f'(x)-g(x),求h(x)在[1,2]上的最小值

Answer 1

(1)f（x）=（x^2+ax）e^x在（0,1）上单调递减,
<==>f'(x)=(2x+a+x^2+ax)e^x<0对0<x<1恒成立，
<==>g(x)=x^2+(a+2)x+a<0对0<x<1恒成立,
<==>g(0)=a<=0,且g(1)=3+2a<=0,
<==>a<=-3/2,为所求.
(2)h(x)=[x^2+(a+2)x+a]e^x-[（a+3）x+a^2+2a-1]e^x
=(x^2-x-a^2-a+1)e^x,x∈[1,2],
h'(x)=(2x-1+x^2-x-a^2-a+1)e^x
=(x^2+x-a^2-a)e^x
=(x-a)(x+a+1)e^x,
当x介于a与-a-1之间时h'(x)<0,h(x)是减函数，其他，h(x)是增函数：
1）-a-1<=1,即a>=-2时h'(x)>=0,h(x)是增函数，h(x)的最小值=h(1)=e(1-a-a^2);
2)1<=-a-1<=2，即-3<=a<-2时h(x)的最小值=h(-a-1)=(2a+3)e^(-a-1);
3)2<-a-1,即a<-3时h(x)的最小值=h(2）=（3-a-a^2)e^2.