Question

悬赏100！用matlab求直线和椭圆的交点坐标！

>> syms a b t0 t kx ky
>> %已知椭圆上的一点(a*cos(t0),b*sin(t0)),过该点的矢量的方向为(kx,ky)，求该向量与椭圆的另一个交点坐标（a*cos(t),b*sin(t)），即求出旋转角t;
>> %t必须是符号表达式（解析式）
>> %显然t与t0,a,b,kx,ky有关（t的定义见图示）

Answer 1

syms a b t0 t kx ky
x0=a*cos(t0);
y0=b*sin(t0);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);
t=solve((x-x0)*ky-(y-y0)*kx,t)

t =

t0 + 2*pi*k
2*pi*k - 2*atan((b*kx + a*ky*tan(t0/2))/(a*ky - b*kx*tan(t0/2)))

显然第一个点就是原来的t0点
因为以2pi为周期的t都符合条件，所以结果会有2*pi*k的附加项
加两句

t=subs(t,'k',0);
t=t(t~=t0)

t =

(-2)*atan((b*kx + a*ky*tan(t0/2))/(a*ky - b*kx*tan(t0/2)))

追问

我见你的结果用来atan函数，这个函数存在问题吧？
因为反正切得到的角度位于(-pi/2,pi/2),所以第二和第三象限的t值会错以为是第一和第四象限的。。。
能不能有一种解析式，让确定的t0，a，b，kx，ky对应一个唯一的t值呢？

追答

结果前面有个-2*
就将-pi/2~pi/2变成-pi~pi
你可以代几个数进去看看结果对不对

的确atan和atan2是不同的，
atan2根据y和x的正负判断角的象限
但是符号运算是不能判断大小的，正负的，所以符号运算中不能用atan2

追问

你好，为什么我在2010版本上运行得到是：
t =

t0
-log((a*ky - b*kx*i)/(a*ky*exp(t0*i) + b*kx*exp(t0*i)*i))*i
有没有什么办法变成你那种形式呢？帮我最后一个忙，100分就是你的了，先谢谢了！

追答

我的2009的，我是过2011的返回的也是和你一样的
不过这两种表达式应该是一样的
我分别代过数值去检验，得到的结果是一样的
但是我找不到办法用matlab将你得到的表达式转变成我得到的
不过查了一下资料，用手推算应该可以证明两者是一样的
以下是我查到最有用的一段

log函数在实数域中不能对负数和零进行计算，
MATLAB中的log函数则可以接受负数输入，并将其作为复数进行处理。
而log(0)返回-inf
对于复数元素x+i*y，其自然对数等于log(abs(x+i*y))+i*atan2(y,x)。

也就是说复数x+i*y的自然对数得到的结果是：
实部是原复数的模的自然对数，虚部是原来的幅角
所以用复数域定义的自然对数log，是可以表示atan2的
可能是这样，所以新版本的matlab对符号运算优化了一下
求角度应该atan2的，但是atan2不能用于符号运算，所以旧版本就无能为力
而新版本用log函数表示，就解决了这个问题

我版本的atan((b*kx + a*ky*tan(t0/2))/(a*ky - b*kx*tan(t0/2)))写为atan2

atan2(b*kx + a*ky*tan(t0/2) ,a*ky - b*kx*tan(t0/2));
让b*kx + a*ky*tan(t0/2)=Y，a*ky - b*kx*tan(t0/2)=X,再让Z=sqrt(X^2+Y^2)
atan2(Y,X)于atan2(Y/Z,X/Z)是一致的，只是将模归一化了，那么
log((X+Y*i)/Z)= log( (X^2+Y^2)/Z^2)+i*atan2(Y/Z,X/Z)
=log(1)+i*atan2(Y/Z,X/Z)=0+i*atan2(Y/Z,X/Z)=i*atan2(Y,X)
所以atan2(Y,X)=-i*log((X+Y*i)/Z)
也就是atan2可以由模归一化后的X+Yi的自然对数乘以-i获得

另一方面可以通过将tan化为cos/sin 而cos和sin函数又可以通过欧拉公式exp函数表示
最终tan(t0/2)可以化为用exp(i*t0)表示
tan(t0/2)=(i - i*exp(i*t0))/(exp(i*t0) + 1)

篇幅有限推导过程就不写了，最后这两个结果应该是等价的
考虑到atan没有像给出atan2那样正确的结果，
所以新版本给的用log表示的结果应该更不会有问题