Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。 （1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC= AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值。

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Answer 1

解：（1）∵OA=OC，∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵AB是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∴∠PCO=90°，即OC⊥CP， 而OC是 的半径，∴PC是 的切线；
（2）∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴BC=OC，∴BC= AB；
（3）连接MA，MB， ∵点M是弧AB的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴BM 2 =MN·MC， 又∵AB是 的直径， ， ∴ ，AM=BM， ∴AB=4，∴BM= ， ∴MN·MC=BM 2 =（ ） 2 =8。