Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）过点A作

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E．且AB= 5 ，BD=2．求线段AE的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠2=90°； 又∵OB=OD， ∴∠2=∠B， 而∠ADC=∠B， ∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD． 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线CD是⊙O的切线； （2）∵在直角△ADB中，AB= 5 ，BD=2， ∴根据勾股定理知，AD= A B 2 -B D 2 =1． ∵AE⊥AB， ∴∠EAB=90°． 又∠ADB=90°， ∴△AED ∽ △BAD， ∴ AD AE = BD BA ，即 1 AE = 2 5 ， 解得，AE= 5 2 ，即线段AE的长度是 5 2 ．