Question

已知函数f（x）=ax 2 -（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）

已知函数f（x）=ax 2 -（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x 2 -3x+lnx，f′（x）=2x-3+ 1 x ．          因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程为 y=-2．                                      （2）函数f（x）=ax 2 -（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）． 当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+ 1 x = 2a x 2 -(a+2)x+1 x （x＞0）， 令f′（x）=0，即f′（x）= 2a x 2 -(a+2)x+1 x = (2x-1)(ax-1) x =0， 所以x= 1 2 或x= 1 a ．           ①a＞2时，令f′（x）＞0，可得x＞ 1 2 或 0＜x＜ 1 a ；令f′（x）＜0，可得 1 a ＜x＜ 1 2 ； ②a=2时，f′（x）≥0恒成立； ③0＜a＜2时，令f′（x）＞0，可得x＞ 1 a 或 0＜x＜ 1 2 ；令f′（x）＜0，可得 1 2 ＜x＜ 1 a ； ④a≤0时，令f′（x）＞0，可得 0＜x＜ 1 2 ；令f′（x）＜0，可得x＞ 1 2 ； ∴a＞2时，函数的单调增区间是（0， 1 2 ），（ 0， 1 a ）；单调减区间为（ 1 a ， 1 2 ）；a=2时，f（x）在（0，+∞上单调递增；0＜a＜2时，函数的单调增区间是（ 1 a ，+∞），（0， 1 2 ）；单调减区间是（ 1 2 ， 1 a ）；a≤0时，函数的单调增区间是（0， 1 2 ）；单调减区间是（ 1 2 ，+∞）．