Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设b

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝1n(an+3)(n∈N*)，Sn＝b1+b2+…+bn，求Sn＞136．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴(a1+d)(a1+13d)＝(a1+4d)2
整理得：2a1d＝d2，
∵a₁=1，解得d=2（d=0舍去）
∴an＝2n?1(n∈N*)，
（2）bn＝

1

n(an+3)

＝

1

2n(n+1)

＝

1

2

(

1

n

?

1

n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]
=

1

2

(1?

1

n+1

)，
∴当n=1时，S_n取最小值S1＝

1

2

(1?

1

2

)=

1

4

＞

1

36

．
∴Sn＞

1

36

．