Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1?ax-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≤12时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2x+b

已知函数f（x）=lnx-ax+1?ax-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≤12时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2x+b．当a=14时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=

1

x

-a-

1?a

x2

=

?ax2+x+a?1

x2

，
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
（1）当a=0时，h（x）=-x+1（x＞0），
当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得：x₁=1，x₂=

1

a

-1．
当a=

1

2

时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈（1，

1

a

-1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（

1

a

-1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当a＜0时，

1

a

-1＜0，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；
当a=

1

2

时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，

1

a

-1）单调递增，（

1

a

-1，+∞）单调递减．
（Ⅱ）当a=

1

4

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有f（x₁）≥f（1）=-

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g（x₂），x₂∈[1，2]，
又g（x）=（x-1）²+b-1，x₂∈[1，2]时：g（x）是增函数，
∴g（x）max=g（2）=b，
∴b≤-

1

2

．
∴实数b取值范围是：（-∞，-

1

2

]．