Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象与x轴有两个不同的交点A、B，且f（1）=0．（1）求ca的范围

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象与x轴有两个不同的交点A、B，且f（1）=0．（1）求ca的范围；（2）证明：32＜|AB|＜3．

Answer 1

（1）∵f（1）=0，
∴a+b+c=0，又a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴

2a+c＞a+b+c＝0 a+2c＜a+b+c＝0

，
即

2a+c＞0 a+2c＜0

，
∴?2＜

c

a

＜?

1

2

．
（2）∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴ax²+bx+c=ax²-（a+c）x+c=（ax-c）（x-1）=0，
∴xA＝

c

a

，x_B=1或x_A=1，xB＝

c

a

，
∴|AB|＝|xA?xB|＝|

c

a

?1|＝1?

c

a

由（1）知?2＜

c

a

＜?

1

2

，
∴1+

1

2

＜1?

c

a

＜1+2，
即

3

2

＜|AB|＜3．