如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(
如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(Ⅱ)求平面ADC1与ABA1所成二面...
如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(Ⅱ)求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值.
展开
1个回答
展开全部
解答:(Ⅰ)证明:连接A1C,交C1A于E,则E为A1C的中点,又点D是BC的中点,
所以DE∥A1B,…(3分)
又DE?平面ADC1,A1B?平面ADC1,故A1B∥平面ADC1. …(5分)
(Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),C1(0,2,4),…(6分)
=(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量,…(7分)
设平面ADC1的法向量
=(x,y,z).
∵
=(1,1,0),
=(0,2,4),
∴
.
取z=1,得y=-2,x=2
∴平面ADC1的法向量
=(2,-2,1),…(9分)
平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ,
∴|cosθ|=|
|=
.…(11分)
从而sinθ=
,即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为
…(13分)
所以DE∥A1B,…(3分)
又DE?平面ADC1,A1B?平面ADC1,故A1B∥平面ADC1. …(5分)
(Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),C1(0,2,4),…(6分)
AC |
设平面ADC1的法向量
m |
∵
AD |
AC1 |
∴
|
取z=1,得y=-2,x=2
∴平面ADC1的法向量
m |
平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ,
∴|cosθ|=|
?4 |
2×3 |
2 |
3 |
从而sinθ=
| ||
3 |
| ||
3 |
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询