如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(

如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(Ⅱ)求平面ADC1与ABA1所成二面... 如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(Ⅱ)求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值. 展开
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孤人怜花阴7320
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解答:(Ⅰ)证明:连接A1C,交C1A于E,则E为A1C的中点,又点D是BC的中点,
所以DE∥A1B,…(3分)
又DE?平面ADC1,A1B?平面ADC1,故A1B∥平面ADC1.          …(5分)
(Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),C1(0,2,4),…(6分)
AC
=(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量,…(7分)
设平面ADC1的法向量
m
=(x,y,z).
AD
=(1,1,0),
AC1
=(0,2,4),
x+y=0
2y+4z=0

取z=1,得y=-2,x=2
∴平面ADC1的法向量
m
=(2,-2,1),…(9分)
平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ,
∴|cosθ|=|
?4
2×3
|=
2
3
.…(11分)
从而sinθ=
5
3
,即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为
5
3
  …(13分)
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