Question

已知函数f（x）=x2+ax-lnx-1（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）函数f（x）在（2，4）上是减函

已知函数f（x）=x2+ax-lnx-1（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）函数f（x）在（2，4）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x²+ax-lnx-1，其定义域为（0，+∞）．
∴f′(x)＝?2x+a?

1

x

，当a＝3时，f′(x)＝?2x+3?

1

x

＝?

2x2?3x+1

x

；
令f^′（x）=0，解得x＝

1

2

或1．
如下表：
由表格可知：在区间（0，

1

2

），（1，+∞）上f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
在区间（

1

2

，1）上f′（x）＞0．函数f（x）为增函数．
（2）∵函数f（x）在（2，4）上是减函数，则f′(x)＝?2x+a?

1

x

≤0，在x∈（2，4）上恒成立．
?2x+a?

1

x

≤0?2x+

1

x

≥a在x∈(2，4)上恒成立．
令g（x）=2x+

1

x

，则g′(x)＝2?

1

x2

＝

2x2?1

x2

≥0，在（2，4）上恒成立，
∴g（x）在（2，4）上单调递增，∴g（x）＞g(2)＝2×2+

1

2

＝

9

2

．
因此实数a的取值范围a∈(?∞，

9

2

]．