Question

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足：2Sn2=an（2Sn-1）．（Ⅰ）求证：数列{1Sn}是等差数列，

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足：2Sn2=an（2Sn-1）．（Ⅰ）求证：数列{1Sn}是等差数列，并用n表示Sn；（Ⅱ）令bn=Sn2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn．求使得2Tn（2n+1）≤m（n2+3）对所有n∈N*都成立的实数m的取值范围．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：当n≥2时，其前n项和S_n满足：2S_n²=a_n（2S_n-1）．
∴2

S

2 n

＝(Sn?Sn?1)(2Sn?1)，
化为

1

Sn

?

1

Sn?1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是等差数列，
∴

1

Sn

＝1+2(n?1)=2n-1，
∴S_n=

1

2n?1

．
（II）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]
=

1

2

(1?

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∴2T_n（2n+1）≤m（n²+3）化为m≥

2n

n2+3

，
∵

2n

n2+3

=

2

n+ 3 n

＜

2

2+ 3 2

=

4

7

．
∴m≥

4

7

．
使得2T_n（2n+1）≤m（n²+3）对所有n∈N^*都成立的实数m的取值范围是[

4

7

，+∞)．

Answer 2

(Sn)²=[Sn-S(n-1)](Sn-1/2)
(Sn)²=(Sn)²-Sn/2-SnS(n-1)+S(n-1)/2
Sn+2SnS(n-1)-S(n-1)=0
S(n-1)-Sn=2SnS(n-1)
两边除以SnS(n-1)
1/Sn-1/S(n-1)=2
1/Sn等差,d=2
S1=a1=1
1/Sn=1/S1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
bn=1//[(2n-1)(2n+1)]
=1/2*2[(2n-1)(2n+1)]
=1/2*[(2n+1)-(2n+1)]/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2*{(2n+1)/[(2n-1)(2n+1)]-(2n+1)/[(2n-1)(2n+1)]}
=1/2*[1/[(2n-1)-1/(2n+1)]
所以Tn=1/2*(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/[(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*(1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)