(1) 已知:如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB上,且 ∠DCE=45°. 求证:线段DE、A

(1)已知:如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB上,且∠DCE=45°.求证:线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形;(2)已知:... (1) 已知:如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB上,且 ∠DCE=45°. 求证:线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形;(2)已知:如图②,等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数;(3)在(1)的条件下,如果AB=10,求BD·AE的值。 展开
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桓夏侯兰v7
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解:(1)证明:如图①,∵∠ACB=90°,AC=BC, 
∴∠A=∠B=45°
以CE为一边作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,则CF=CB=AC
连接DF、EF,则△CFE≌△CBE
∴FE=BE,∠1=∠B=45°
∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°    
∴∠DCA+∠ECB=45°
∴∠DCF=∠DCA 
∴△DCF≌△DCA
∴∠2=∠A=45°,DF=AD 
∴∠DFE=∠2+∠1=90°
∴△DFE是直角三角形
又AD=DF,EB=EF,
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形
(2)当AD=BE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,
如图②,与(1)类似,以CE为一边,作 ∠ECF=∠ECB,
在CF上截取CF=CB,可得 △CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA
∴AD=DF,EF=BE.
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°
若使△DFE为等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE
∴当AD=BE时 
线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形且顶角∠DFE为120°
(3)证明:如图①,
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠CDB=∠ACD+∠A
又∠DCE=∠A=45°
∴∠ACE=∠CDB. 又∠A=∠B,
∴△ACE∽△BDC
 

∵Rt△ACB中,由




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