Question

已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为48π，则异面直线AB与OC所成角余

已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为48π，则异面直线AB与OC所成角余弦值为______．

Answer 1

设球O的半径为R， 则球O的表面积为S=4πR 2 =48π，解得R= 2 3 ． ∵AB=2，BC=4，∠BAC=90°， ∴BC为平面ABC截球所得小圆的直径， 以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，可得四边形ACDB是截得小圆的内接矩形． ∵CD ∥ AB，∴∠OCD（或其补角）就是异面直线AB与OC所成角． 连线OD、OB， △OCD中，CO=DO=R= 2 3 ，CD=AB=2． ∴cos∠OCD= C O 2 +C D 2 -D O 2 2×CO×CD = 12+4+12 2×2 3 ×2 = 3 6 故答案为： 3 6