Question

（2012?上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证

（2012?上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当DFFC=ADDF时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG
∴

AD

BE

=

DG

BG

又∵BE=DF，

DF

FC

=

AD

DF

∴

DG

BG

=

AD

DF

=

DF

FC

∴GF∥BC （平行线分线段成比例）
∴∠DGF=∠DBC
∵BC=CD
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF
∴GF=DF=BE
∵GF∥BC，GF=BE
∴四边形BEFG是平行四边形