Question

已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（

已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式f(x)＞(x?1)(12x2+x+1)；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x
所以f′（x）=[2ax+（a-1）²]e^x+[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x=[ax²+（a²+1）x+a]e^x--------（2分）
因为x=0为f（x）的极值点，所以由f′（0）=ae⁰=0，解得a=0----------------------------（3分）
检验，当a=0时，f′（x）=xe^x，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
所以x=0为f（x）的极值点，故a=0．----------------------------------------（4分）
（Ⅱ） 当a=0时，不等式不等式f(x)＞(x?1)(

1

2

x2+x+1)?（x-1）e^x＞（x-1）（

1

2

x²+x+1），
整理得（x-1）[e^x-（

1

2

x²+x+1）]＞0，
即

x?1＞0 ex?( 1 2 x2+x+1)＞0

或

x?1＜0 ex?( 1 2 x2+x+1)＜0

------------（6分）
令g（x）=）e^x-（

1

2

x²+x+1），h（x）=g′（x）=e^x-（x+1），h′（x）=e^x-1，
当x＞0时，h′（x）=e^x-1＞0，当x＜0时，h′（x）=e^x-1＜0，
所以h（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g′（x）＞0，
所以g（x）在R上单调递增，而g（0）=0；
故e^x-（

1

2

x²+x+1）＞0?x＞0；e^x-（

1

2

x²+x+1）＜0?x＜0，
所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}；-------------------------（9分）
（Ⅲ） 当a≥0时，f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，
因为x∈（1，2），所以f′（x）＞0，所以f（x）在（1，2）上是增函数．----------（11分）
当a＜0时，f′（x）=a（x+a）（x+

1

a

）?e^x，x∈（1，2）时，f（x