Question

如图，在平面直角坐标系内，已知A（1，0），B（-1，0）两点，且圆C的方程为x2+y2-6x-8y+21=0，点P为圆上

如图，在平面直角坐标系内，已知A（1，0），B（-1，0）两点，且圆C的方程为x2+y2-6x-8y+21=0，点P为圆上的动点．（1）求△ABP面积的最小值；（2）求|AP|2+|BP|2的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵|AB|=

(1+1)2+02

=2，
∴在圆上只要找到最低点P₁可得出△ABP面积的最小值，
又∵圆心坐标为（3，4），半径为2，
∴P₁横坐标为3，纵坐标为4-2=2，即P₁（3，2），
则所求的最小面积为S=

1

2

×2×2=2；
（2）设P（x，y），由两点间的距离公式知|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
要使|AP|²+|BP|²最大只要使|OP|²最大即可，
又P为圆上的点，
∴（|OP|）_max=|OC|+r=5+2=7，
∴（|AP|²+|BP|²）_max=100．