Question

已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，CF⊥AC，证明：（1）

已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，CF⊥AC，证明：（1）△ABM≌△CAF；（2）∠AMB=∠DMC．

Answer 1

证明：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠F+∠CAF=90°，∠CAF+∠AMB=90°，
∴∠F=∠AMB，
在△ABM和△CAF中，

∠BAM＝∠ACF ∠AMB＝∠F AB＝CA

，
∴△ABM≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠MCD=45°，
∴∠FCD=90°-∠MCD=45°，
∵M为AC的中点，
∴AM=CM，
∵△ABM≌△CAF，
∴AM=CF，
∴CM=CF，
在△CMD和△CFD中，

CM＝CF ∠MCD＝∠FCD CD＝CD

，
∴△CMD≌△CFD（SAS），
∴∠DMC=∠F，
则∠AMB=∠DMC．