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(2013?桂林)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作
(2013?桂林)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.(1)求证:点D在⊙O上;(2)求证...
(2013?桂林)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.(1)求证:点D在⊙O上;(2)求证:BC是⊙O的切线;(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.
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∵△ADE是直角三角形,OA=OE,
∴OD=OA=OE,
∴点D在⊙O上;
(2)证明:∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠CAD=∠DAB,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠C=∠ODB=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(3)解:在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,
∴根据勾股定理得:AB=10,
设OD=OA=OE=x,则OB=10-x,
∵AC∥OD,△ACB∽△ODB,
∴
OD |
AC |
BO |
BA |
BD |
BC |
x |
6 |
10?x |
10 |
解得:x=
15 |
4 |
∴OD=
15 |
4 |
15 |
2 |
5 |
2 |
∵
OD |
AC |
BD |
BC |
| ||
6 |
BD |
8 |
∴BD=5,
过E作EH⊥BD,
∵EH∥OD,
∴△BEH∽△BOD,
∴
BE |
BO |
EH |
OD |
| ||
|
EH | ||
|
∴EH=
3 |
2 |
∴S△BDE=
1 |
2 |
15 |
4 |
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