Question

（2013?桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作

（2013?桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：点D在⊙O上；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE，
∴点D在⊙O上；

（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴根据勾股定理得：AB=10，
设OD=OA=OE=x，则OB=10-x，
∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，
∴

OD

AC

=

BO

BA

=

BD

BC

，即

x

6

=

10?x

10

，
解得：x=

15

4

，
∴OD=

15

4

，BE=10-2x=10-

15

2

=

5

2

，
∵

OD

AC

=

BD

BC

，即

15 4

6

=

BD

8

，
∴BD=5，
过E作EH⊥BD，
∵EH∥OD，
∴△BEH∽△BOD，
∴

BE

BO

=

EH

OD

，即

5 2

25 4

=

EH

15 4

，
∴EH=

3

2

，
∴S_△BDE=

1

2

BD?EH=

15

4

．