Question

设数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

设数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=lna3n+1，n=1，2…，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn以及Tn的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得：

a1+a2+a3＝7 (a1+3)+(a3+4) 2 ＝3a2

，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a1＝

2

q

，a₃=2q，
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q＝7，即2q²-5q+2=0，
解得q₁=2，q2＝

1

2

，
由题意得q＞1，∴q=2，
∴a₁=1，
故数列{a_n}的通项为an＝2n?1．
（Ⅱ）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（Ⅰ）得a3n+1＝23n，
∴bn＝ln23n＝3nln2，
又b_n+1-b_n=3ln2为常数，
∴{b_n}为等差数列，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3nln2)

2

=

3n(n+1)ln2

2

，
故T_n=

3

2

ln2[(n+

1

2

)2?

1

4

]，其中n≥1，n∈N．
∴当n=1时T_n取得最小值，T_n的最小值是3ln2．