已知函数f(x)=1x+aln(x+1)(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若f(x)在[2,4]上为单
已知函数f(x)=1x+aln(x+1)(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若f(x)在[2,4]上为单调函数,求实数a的取值范围....
已知函数f(x)=1x+aln(x+1)(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若f(x)在[2,4]上为单调函数,求实数a的取值范围.
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(I)当a=2时,f(x)=
+2ln(x+1),定义域是(-1,0)∪(0,+∞),
f′(x)=?
+
,即f′(x)=
=
,
由f′(x)>0,得,-1<x<-
,或x>1.
由f′(x)<0,得-
<x<0,或0<x<1.
所以f(x)的单调递增区间为(-1,-
)和(1,+∞),
f(x)的减区间为(-
,0)和(0,1).
∴极大值f(-
)=-2-2ln2,极小值f(1)=-1+2ln2.
(II)若f(x)为增函数,则当x∈[2,4]时,f′(x)≥0恒成立,
即
≥0,变形,得a≥
;
当x∈[2,4]时,
=
+
≤
,
∴a≥
.
若f(x)为减函数,则当x∈[2,4]时,f(x)≤0恒成立,
即
≤0,变形得a≤
,
当x∈[2,4]时,
=
+
≥
,∴a≤
,
综上所述:a≥
或a≤
.
1 |
x |
f′(x)=?
1 |
x2 |
2 |
x+1 |
2x2?x?1 |
x2(x+1) |
(x?1)(2x+1) |
x2(x+1) |
由f′(x)>0,得,-1<x<-
1 |
2 |
由f′(x)<0,得-
1 |
2 |
所以f(x)的单调递增区间为(-1,-
1 |
2 |
f(x)的减区间为(-
1 |
2 |
x | (-1,-
| -
| (-
| (0,1) | 1 | (1,+∞) | ||||||
f′(x) | + | 0 | - | - | 0 | + | ||||||
f(x) | ↑ | 极大值 | ↓ | ↓ | 极小值 | ↑ |
1 |
2 |
(II)若f(x)为增函数,则当x∈[2,4]时,f′(x)≥0恒成立,
即
ax2?x?1 |
x2(x+1) |
x+1 |
x2 |
当x∈[2,4]时,
x+1 |
x2 |
1 |
x |
1 |
x2 |
3 |
4 |
∴a≥
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4 |
若f(x)为减函数,则当x∈[2,4]时,f(x)≤0恒成立,
即
ax2?x?1 |
x2(x+1) |
x+1 |
x2 |
当x∈[2,4]时,
x+1 |
x2 |
1 |
x |
1 |
x2 |
5 |
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综上所述:a≥
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