Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x 2 若对任意的x∈[t，t+2]不等式f（x）≤4f（x+t）恒

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x 2 若对任意的x∈[t，t+2]不等式f（x）≤4f（x+t）恒成立，则实数t的最大值是______．

Answer 1

当x≤0时，f（x）=x 2 ， ∵函数f（x）是奇函数， ∴当x＞0时，f（x）=-x 2 ， ∴f（x）= x 2 ，x≤0 - x 2 ，x＞0 ， ∴f（x）在R上是单调递减函数， 且满足4f（x+t）=f[2（x+t）]， ∵不等式f（x）≤4f（x+t）=f[2（x+t）]在x∈[t，t+2]上恒成立， ∴x≥2（x+t）在x∈[t，t+2]上恒成立，即x≤-2t在x∈[t，t+2]上恒成立， ∴t+2≤-2t，解得t≤- 2 3 ． ∴t的最大值为- 2 3 ． 故答案为： - 2 3 ．