Question

设随机变量X，Y独立，都服从参数为1的指数分布，则必有?（　　）A．P（X=Y）=1B．P（X=Y）=0C．P（X＜Y）

设随机变量X，Y独立，都服从参数为1的指数分布，则必有?（　　）A．P（X=Y）=1B．P（X=Y）=0C．P（X＜Y）=0D．P（X+Y＞12）=12

Answer 1

由题意，X～P（1），Y～P（1），则概率密度为
f(x)＝

e?x amp;，x＞0 0 amp;，其它

，f(y)＝

e?y amp;，y＞0 0 amp;，其它

由于X，Y独立，因而它们的联合概率密度为
f(x，y)＝

e?(x+y) amp;，x＞0，y＞0 0 amp;，其它

∴P(X＜Y)＝

∫∫

0＜x＜y

f(x，y)dxdy=

∫

+∞ 0

e?xdx

∫

x 0

e?ydy=

∫

+∞ 0

e?x(1?e?x)dx=

1

2

P(X+Y＞

1

2

)＝

∫∫

x+y＞ 1 2 ，y＞0

f(x，y)dxdy=1?

∫∫

x+y≤ 1 2 ，y＞0

f(x，y)dxdy=1?

∫

1 2 0

e?xdx

∫

1 2 ?x 0

e?ydy=

3

2

e?

1

2

故C、D错误；
又X=Y只是一条线，构不成区域，因此f（x，y）在其上的二重积分为0
即P（X=Y）=0
故A错误，B正确
故选：B．