Question

如图1，已知开口向上的抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边，如图1

如图1，已知开口向上的抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边，如图1所示），且AB＝25．（1）求a的值；（2）若直线y=-2x+b与抛物线C1只有一个交点，且分别与x、y轴相交于C、D两点，求点P到直线CD的距离；（3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边，如图2所示），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线C₁的解析式为y=a（x+2）²-5，
∴顶点P的坐标为（-2，-5），
∵抛物线C₁：y=a（x+2）²-5与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=2

5

，
∴A（-2-

5

，0），B（-2+

5

，0）．
将点B的坐标（-2+

5

，0）代入抛物线C₁的解析式，
得0=a（-2+

5

+2）²-5，
解得，a=1．
故所求a的值为1；

（2）如图，将y=-2x+b代入y=（x+2）²-5，得-2x+b=（x+2）²-5，
整理，得x²+6x-1-b=0，
∵直线y=-2x+b与抛物线C₁只有一个交点，
∴判别式△=0，即36-4（-1-b）=0，
解得b=-10，
∴直线CD的解析式为y=-2x-10．
过点P作PE⊥CD于E，设直线PE的解析式为y=kx+n．
∵PE⊥CD，直线CD的斜率为-2，
∴k=

1

2

，
将P（-2，-5）代入y=

1

2

x+n，
得-5=

1

2

×（-2）+n，
解得n=-4．
即直线PE的解析式为y=

1

2

x-4．
解方程组

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