如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.(1)请说
如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.(1)请说明:DE=DF;(2)请说明:BE2+CF2=EF...
如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.(1)请说明:DE=DF;(2)请说明:BE2+CF2=EF2;(3)若BE=6,CF=8,求△DEF的面积(直接写结果).
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(1)证明:连接AD,
∵等腰直角三角形ABC,
∴∠C=∠B=45°,
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中
,
∴△BDE≌△ADF,
∴DE=DF.
(2)证明:∵△BDE≌△ADF,
∴BE=AF,
∵∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△ADE和△CDF中
,
∴△ADE≌△CDF,
∴CF=AE,
∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2,
即BE2+CF2=EF2.
(3)解:EF2=BE2+CF2=100,
∴EF=10,
根据勾股定理DE=DF=5
,
△DEF的面积是
DE×DF=
×5
×5
∵等腰直角三角形ABC,
∴∠C=∠B=45°,
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中
|
∴△BDE≌△ADF,
∴DE=DF.
(2)证明:∵△BDE≌△ADF,
∴BE=AF,
∵∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△ADE和△CDF中
|
∴△ADE≌△CDF,
∴CF=AE,
∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2,
即BE2+CF2=EF2.
(3)解:EF2=BE2+CF2=100,
∴EF=10,
根据勾股定理DE=DF=5
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△DEF的面积是
1 |
2 |
1 |
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