Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，求数列{an?

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，求数列{an?bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，有a_n=2a_n-1，
所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，有an＝2n．（6分）
（2）由（1）知bn＝log22n＝n，有an?bn＝n?2nTn＝1×2+2×22+…+n×2n①
①×2，2Tn＝1×22+2×23+…+n×2n+1②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹，
整理得Tn＝(n?1)?2n+1+2．（12分）