已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:n?12<a1a2+a
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:n?12<a1a2+a2a3+…+anan+1<n2....
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:n?12<a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.
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解答:(本小题满分12分)
(1)解:∵Sn=2an-n,…①
∴a1=2a1-1,解得a1=1….(1分)
且Sn-1=2an-1-(n-1)…②
①-②得an=2an-1+1….(2分)
∴an+1=2(an-1+1),n≥2,
∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列….(3分),
∴an=2n?1.….(4分)
(2)证明:∵
=
=
<
….(6分)
∴
+
+…+
<
.….(8分)
∵
=
=
=
(1?
)=
?
=
?
>
?
.….(10分)
∴
+
+…+
>
?(
+
+…+
)=
?
(1?
)>
,
∴
<
+
+…+
<
….(12分)
(1)解:∵Sn=2an-n,…①
∴a1=2a1-1,解得a1=1….(1分)
且Sn-1=2an-1-(n-1)…②
①-②得an=2an-1+1….(2分)
∴an+1=2(an-1+1),n≥2,
∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列….(3分),
∴an=2n?1.….(4分)
(2)证明:∵
an |
an+1 |
2n?1 |
2n+1?1 |
2n?1 | ||
2(2n?
|
1 |
2 |
∴
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
n |
2 |
∵
an |
an+1 |
2n?1 |
2n+1?1 |
2n?1 | ||
2(2n?
|
1 |
2 |
1 |
2n+1?1 |
1 |
2 |
1 |
2?2n+1?2 |
=
1 |
2 |
1 |
2n+1+2n+1?2 |
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
∴
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
n |
2 |
1 |
22 |
1 |
23 |
1 |
2n+1 |
n |
2 |
1 |
2 |
1 |
2n |
n?1 |
2 |
∴
n?1 |
2 |
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
n |
2 |
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