已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:n?12<a1a2+a

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:n?12<a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.... 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:n?12<a1a2+a2a3+…+anan+1<n2. 展开
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海鳴りよakW
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解答:(本小题满分12分)
(1)解:∵Sn=2an-n,…①
∴a1=2a1-1,解得a1=1….(1分)
且Sn-1=2an-1-(n-1)…②
①-②得an=2an-1+1….(2分)
∴an+1=2(an-1+1),n≥2,
∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列….(3分),
an2n?1.….(4分)
(2)证明:∵
an
an+1
2n?1
2n+1?1
2n?1
2(2n?
1
2
)
1
2
….(6分)
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
.….(8分)
an
an+1
=
2n?1
2n+1?1
=
2n?1
2(2n?
1
2
)
=
1
2
(1?
1
2n+1?1
)
=
1
2
?
1
2?2n+1?2

=
1
2
?
1
2n+1+2n+1?2
1
2
?
1
2n+1
.….(10分)
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
?(
1
22
+
1
23
+…+
1
2n+1
)=
n
2
?
1
2
(1?
1
2n
)>
n?1
2

n?1
2
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
….(12分)
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