Question

已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A

已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求直线AE和平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点 
∴FG∥CD，且FG=

1

2

DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．      
EF?面ABC，BG?面ABC
∴EF∥面ABC；
（Ⅱ）证明：∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC，
∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC；
（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，

1

2

，0），E（1，0，1），B（1，0，0），C（0，-

1

2

，0）
∴

AE

=（1，-

1

2

，1），

BC

=（-1，-

1

2

，0），

BE

=（0，0，1）
设平面BCDE的法向量为

n

=（x，y，z），则

?x? y 2 ＝0 z＝0

，故取

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