Question

（2012?宿州一模）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯

（2012?宿州一模）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；（3）在PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：由题意，∵BC∥AD，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA，又PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH
由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ
所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角
∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1
∴AQ＝

3

2

，PQ＝

3 5

2

，
∴AH＝

AQ?PA

PQ

＝

3 5

5

∴tan∠AHD＝

AD

AH

＝

5

3

所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为

5

3

（3）解：存在．
在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB．由条件知，PC=3

3

，在PC上取点E，使PE=

3

，则EF∥PB，
所以，平面EFD∥平面PAB，
因为DE?平面EFD，
所以DE∥平面PAB