Question

设函数f（x）=alnx+1x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，若对任意x＞0，不等式f（x）

设函数f（x）=alnx+1x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，若对任意x＞0，不等式f（x）≥2a成立，求a的取值范围；（3）当a＜0时，设x1＞0，x2＞0，试比较f（x1+x22）与f(x1)+f(x2)2的大小并说明理由．

Answer 1

函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
（Ⅰ）由题意x＞0，f′(x)＝

a

x

?

1

x2

，…（2分）
（1）当a＞0时，
由f′(x)＝

a

x

?

1

x2

＜0，
解得x＜

1

a

，函数f（x）的单调递减区间是（0，

1

a

）；
由f′(x)＝

a

x

?

1

x2

＞0，
解得x＞

1

a

，函数f（x）的单调递增区间是（

1

a

，+∞）． …（4分）
（2）当a≤0时，
由于x＞0，所以f′(x)＝

a

x

?

1

x2

＜0恒成立，
函数f（x）的在区间（0，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）因为对于任意正实数x，不等式f（x）≥2a成立，即2a≤alnx+

1

x

恒成立．
因为a＞0，由（Ⅰ）可知
当x=

1

a

时，函数f(x)＝alnx+

1

x

有最小值f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-alna．…（7分）
所以2a≤a-alna，解得0＜a≤

1

e

．
故所求实数a的取值范围是(0，

1

e

]．    …（9分）
（Ⅲ）因为f(

x1+x2

2

)＝aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

，

f(x1)+f(x2)

2

＝

1

2

(alnx1+

1

x1

+alnx2