Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：A1O⊥平面GBD

在正方体ABCD-A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：A1O⊥平面GBD．

Answer 1

解答：证明：连接GO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2

，tan∠GOC=

2

2

，∴∠AA₁O=∠GOC，
则∠A₁OA+∠GOC=90°．∴A₁O⊥OG．
∵OG∩DB=O，∴A₁O⊥平面GBD．