Question

如图，已知等边△ABC中，AB=4．实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图

如图，已知等边△ABC中，AB=4．实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：①以线段AB为直径作圆，圆心为O，AC、BC分别与⊙O交于点D、E；②延长AB到点P，使BP=OB，连接PE．推理与运用：请根据上述作图解答下面问题：（1）判断PE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点F是⊙O上一点，且点B是弧EF的中点，则弦EF的长为2323．

Answer 1

解答：解：实践与操作：如图1所示：
推理与运用：
（1）相切，理由如下：
如图1，连接OE，
∵OB、OE是⊙O半径，
∴OB=OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△EOB是等边三角形，
∴EB=OB，
∵BP=OB，
∴在△OPE中，EB是OP边上的中线，且EB=

1

2

OP，
∴△OPE是直角三角形，∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE与⊙O相切；

（2）如图2，连接EF，交OB于点M，
∵等边△ABC中，
∴∠ABC=60°，
∵BO=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∵AB=4，
∴BO=EO=BE=2，
∵点F是⊙O上一点，且点B是

EF

的中点，
∴EF⊥OB，
∴OM=BM=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴EM=

EO2?OM2

=

4?1

=

3

，
∴EF=2

3

．
故答案为：2

3

．