Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A．（1）求出直线BC及抛物线的解析式；（2）D（1，y）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M，N，且MN=2，点M在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小？若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为32的点P．

Answer 1

（1）设BC直线解析式：y=kx+b
根据题意得：

b＝4 9＝5k+b

解得

b＝4 k＝1

直线BC的解析式为：y=x+4（1分）
∵抛物线的对称轴为x=2
设抛物线的解析式为y=（x-2）²+t，
根据题意得

4＝a(0?2)2+t 9＝a(5?2)2+t

解得：

a＝1 t＝0

抛物线的解析式为y=x²-4x+4（1分）

（2）∵若四边形BDNM的周长最短，求出BM+DN最短即可
∵点D抛物线上，
∴D（1，1）
∴D点关于直线x=2的对称点是D₁（3，1）
∵B（0，4）
∴将B点向下平移2个单位得到B₁（0，2）（1分）
∴直线B₁D₁交直线x=2于点N，
∵直线B₁D₁的解析式为：y=-

1

3

x+2（1分）
∴N（2，

4

3

）
∵MN=2∴M（2，

10

3

）（1分）

（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线BC的距离为h，
故P点应在与直线BC平行，且相距3

2

的上下两条平行直线l₁和l₂上．（1分）
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3

2

．
如图，设l₁与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，EF=h=3

2

，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直线l₁与y轴交点坐标为（0，10）
同理可求得直线l₂与y轴交点坐标为（0，-2）（1分）
∴两直线解析式l₁：y=x+10，l₂：y=x-2．
根据题意列出方程组：①

y＝x2?4x+4 y＝x+10

；
②

y＝x2?4x+4 y＝x?2

∴解得：

x1＝6 y1＝16

；

x2＝?1 y2＝9

；

x3＝2 y3＝0

；

x4＝3 y4＝1

∴满足条件的点P有四个，它们分别是P₁（2，0），P₂（3，1），P₃（-1，9），P₄（6，16）．（1分）