Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AD＝2，AC

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AD＝2，AC＝5，求AB的长．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BC．∵直线CD与⊙O相切于C点，∴∠DCA=∠B，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，
∴∠ADC=∠ACB，
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CD．
（Ⅱ）∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

＝

AC

AB

，
∴AC²=AD?AB，
∵AD=2，AC=

5

，
∴AB=

5

2

．