Question

高中数学抛物线问题

过点M(3,1),抛物线y^2=4x的弦的中点的轨迹方程是
要详细点的过程 - -

Answer 1

m=-5/3

解：

因抛物线与x轴有两交点，则首先应该有
△=b^2-4ac=4(m+1)^2+4(m+3)=4(m^2+3m+4)>0，知恒成立

因点A在点B的左侧，且OA：OB=3：1

存在两种情况：
（1）当A，B点在O点左侧时：
设B点坐标为 B(b,0)，则A点坐标为A(3b,0),b<0

由根与系数关系有:
b+3b = 2(m+1)
即 2b = m+1 (1)式

b*3b = -(m+3)
即 3b^2 =-(m+3) (2)式
联立（1），（2）式
知此时无实数解。

（2）当A点在O点左侧，B点在O点右侧时：
设B点坐标为 B(b,0)，则A点坐标为A(-3b,0),b>0
由根与系数关系有:
b-3b = 2(m+1)
即 -b=m+1 (1)式

b*(-3b) = -(m+3)
即 3b^2 = m+3 (2)式

联立（1），（2）式，解得

b=-1 （舍去，不合题意）, m=0

或
b=2/3 ,m=-5/3

综上，知

m = 0（舍去，不合题意）
或
m=-5/3

Answer 2

设直线方程为x-3=m（y-1），与抛物线联立得y^2-4my+4m-12=0,y1+y2=4m,
x1+x2=m(y1-1)+m(y2-1)+6=4m^2-2m+6,中点（X,Y）X=(x1+x2)/2=(4m^2-2m+6)/2=2m^2-m+3,Y=4m/2=2m,将m=Y/2代入X=2m^2-m+3，解出X，Y的关系。但要注意X有范围，因为联立方程的⊿>0,有m的范围，就有X的范围了

Answer 3

若斜率不存在，垂直x轴
是x=3
则y²=12
y=±2√3
所以中点(3,0)

斜率存在
y-1=k(x-3)
y=kx+(1-3k)
代入y²=4x
k²x²+(2k-6k²-4)x+(1-3k)²
x1+x2=-(2k-6k²-4)/k²
y=kx+(1-3k)
y1+y2=k(x1+x2)+2(1-3k)
中点则x=(x1+x2)/2=(3k²-k+2)/k²
y=(y1+y2)/2=2/k
所以k=2/y
代入x=(3k²-k+2)/k²
x(4/y²)=3(4/y²)-2/y+2
两边乘y²
4x=2y²-2y+12
斜率不存在的(3,0)也符合

所以2x=y²-y+6

Answer 4

（参数法）解：可设弦AB的两端点A(a^2,2a),B(b^2,2b),弦的中点P(x,y).则由中点公式得2x=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab,y=a+b.===>2x=y^2-2ab.又三点A,M,B共线，故可得2ab+6=a+b.===>2ab=y-6.结合前面得2x=y^2-y+6.即中点的轨迹方程为2x=y^2-y+6(x>0).