Question

数学函数最小值为什么可以通过导数=0来求出呢?

Answer 1

1、导数的全称是导函数，由于我们过于喜欢简称，把导数的值也称为导数，
结果就混淆的视听，使得初学者概念容易错乱。
类似的例子比比皆是：
A、如电阻、电感、电容、电抗、、、、；
B、如匀速圆周运动是匀速率，而匀速直线运动是运速度、、、、；
这些事情的罪魁祸首是教师，是教师懒于澄清，嗜好简称。

2、导函数的几何意义是计算曲线上任意一点的斜率 tangent、slope、
gradient，而水平的切线的斜率是0。

有极大值 maxima，或极小值 minima 的地方的斜率是0，水平
直线的斜率也是0，所以斜率为0是有极值或最值的必要条件 necessity。

3、单单有导数为0，还不足以推论是极大值点，还是极小值点。但是我们
太多的教师，常常误导学生，尤其是到了大二左右的多元函数微积分时，
很多教授依然用必要条件去误导学生讨论极值点、计算多元函数的极值。

对于一元函数，我们还需要计算二阶导数，才有充分性 sufficiency。
两者合在一起才是充要条件 = Necessary and sufficient conditions。

平时我们简称的“当且仅当”就是这个意思，Iff = if and only if。